Descriptif
Il s'agit d'un cours de probabilités avancées qui s'inscrit dans le prolongement du cours de probabilités de première année et de chaînes de Markov de deuxième année.
On s'intéressera à deux types de processus aléatoires remarquables à temps discret : les martingales et les chaînes de Markov à espaces d'états dénombrables. Nous en étudierons certaines propriétés, en particulier le comportement asymptotique. Nous appliquerons alors cette partie théorique à l'étude de quelques algorithmes stochastiques.
On s'intéressera à deux types de processus aléatoires remarquables à temps discret : les martingales et les chaînes de Markov à espaces d'états dénombrables. Nous en étudierons certaines propriétés, en particulier le comportement asymptotique. Nous appliquerons alors cette partie théorique à l'étude de quelques algorithmes stochastiques.
Objectifs pédagogiques
- Savoir étudier le comportement asymptotique de la théorie en temps discret des martingales et des chaînes de Markov à états dénombrables.
- Savoir appliquer l’algorithme de Robins-Monro.
21 heures en présentiel
Diplôme(s) concerné(s)
Parcours de rattachement
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade européenProgramme détaillé
- Espérance conditionnelle : construction dans le cas L^2 comme un projecteur orthogonal, extension au cas L^1 et des variables aléatoires positives, propriétés et règles de calcul, loi conditionnelle (sous réserve).
- Notions sur les processus stochastiques à temps discret. Définitions martingale, sous-(sur-)martingale, propriétés élémentaires, transformation par une fonction convexe ou convexe croissante.
- Théorème de Décomposition de Doob pour une sous-martingale, crochet d'une martingale L^2. -- "Intégrale stochastique discrète".
- Notion de temps d'arrêt. -- Martingales (sous-, sur-martingales) arrêtées, premier théorème d'arrêt de Doob (cas des temps d'arrêt bornés). -- Inégalités de Doob, -- Théorèmes de convergence presque-sûre pour une sous-martingale uniformément bornée dans L^1, convergence presque-sûre et dans L^2 pour une martingale uniformément bornée dans L^2.
- Intégrabilité uniforme; martingales fermées ou régulières, convergence dans L^1 pour une martingale uniformément intégrable, -- second théorème d'arrêt de Doob (cas d'un temps d'arrêt fini et la martingale arrêtée associée est uniformément intégrable).
- Algorithme de Robins-Morro.
- Examen écrit
