Descriptif
L'algèbre linéaire numérique est un composant essentiel du calcul scientifique. Elle intervient dans une grande variété de domaines et d'applications: modélisation numérique en physique et ingéniérie, traitement de l'image, analyse de données... Il est important de connaître et comprendre les principes des principaux types d'algorithmes existant dans ce domaine, de façon à mettre en oeuvre des solutions adaptées aux caractéristiques des problèmes à résoudre et les appliquer de façon optimale. Ce cours présente les méthodes et algorithmes corresponant aux principaux types de calcul numérique matriciel: méthodes directes ou itératives pour les systèmes linéaires, problèmes de moindres carrés, valeurs et vecteurs propres des grands systèmes, compression et approximation de systèmes linéaires mal conditionnés.
Objectifs pédagogiques
Présenter une typologie des problèmes de calcul rencontrés. Exposer les principes, propriétés, limitations et conditions d'utilisation efficace des principaux types d'algorithmes de calcul numérique matriciel.
Ce module comprend des cours magistraux ainsi que des TP informatiques.
Diplôme(s) concerné(s)
Parcours de rattachement
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade européenPour les étudiants du diplôme M1 MATHAPP - Mathématiques Appliquées
Programme détaillé
1. Typologie et exemples, diversité des méthodes. Notions générales: normes, stabilité et erreurs d'arrondi, conditionnement. Factorisations et solveurs directs (début)
TP numérique (non noté, pas de rendu): familiarisation à l'utilisation de Julia, algèbre linéaire numérique dans Julia.
2. Factorisations LU, LDLT, QR et solveurs directs. Systèmes linéaires et problèmes de moindres carrés.
3. Solveurs itératifs, en particulier gradient conjugué (systèmes symétriques définis positifs) et GMRES (systèmes carrés solvables quelconques): début
TP numérique (noté, rendu ultérieur): factorisation QR, moindres carrés
4. Solveurs itératifs: suite et fin.
5. Problèmes aux valeurs propres: itérations de puissances, orthogonalisation, algorithme QR pour les valeurs propres (début).
TP numérique (noté, rendu ultérieur): solveurs itératifs GMRES.
6. Problèmes aux valeurs propres (suite et fin). Compression et approximation de systèmes linéaires mal conditionnés.
7. Recherche de solutions parcimonieuses de systèmes linéaires par minimisation L2-L1 (première partie de la séance).
Examen écrit final (deuxième partie de la séance).
