Descriptif
On s'intéressera dans ce cours à la résolution de problèmes modélisant la diffraction d'une onde par un obstacle, en régime périodique établi. La difficulté principale est qu'un tel problème est posé dans un domaine non-borné, et que sa solution n'est pas de carré intégrable.
On considèrera dans le cours à la fois l'exemple le plus typique d'un obstacle borné dans l'espace libre, et celui plus spécifique où l'obstacle est placé dans un guide d'ondes infini. Ces deux configurations ont leur intérêt du point de vue des applications, aussi bien en électromagnétisme qu'en acoustique. Le cas des guides d'ondes présente un intérêt pédagogique, parce que les calculs peuvent y être menés de façon simple, et que certains phénomènes exotiques s'y produisent.
On montrera comment formuler les problèmes de diffraction dans un domaine de calcul borné, en écrivant sur la frontière artificielle une condition transparente de type Dirichlet-to Neumann. On montrera ensuite que ces formulations relèvent de l'alternative de Fredholm, et on verra quels résultats de stabilité peuvent en être déduits. Enfin, on présentera différentes approches pour approcher numériquement de tels problèmes (condition aux limites de Dirichlet-to-Neumann approchées, couches PML), et on établira des estimations de l'erreur due aux paramètres de discrétisation.
Format des notes
Numérique sur 20
Littérale/grade européen
Programme détaillé
- Problème de diffraction, notions de champs incident, total et diffracté, condition de rayonnement de Sommerfeld.
- Guides d'ondes, modes propagatifs et évanescents, condition de rayonnement modale.
- Approximation de la condition transparente par une condition de Robin, alternative de Fredholm, théorème de Holmgren.
- Condition transparente exacte dans les guides d'ondes, opérateur de Dirichlet-to-Neumann (DtN), principe d'absorption limite.
- Condition transparente de type DtN pour l'espace libre, alternative de Fredholm, théorème de Rellich.
- Cas de non-unicité, modes piégés dans les guides d'ondes, conditions DtN avec recouvrement.
- Mise en oeuvre pratique des conditions DtN, opérateur DtN approché, estimation d'erreur en fonction du nombre de modes conservés.
- Formulation avec couches PML dans un guide d'ondes, alternative de Fredholm, estimation d'erreur en fonction de l'épaisseur des couches, méthodes PML pour l'espace libre, PML radiales et PMLs cartésiennes.
- Mise en oeuvre des différentes méthodes dans le code XLiFE++.
