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Cours scientifiques - APM_52009_EP : Apprentissage automatique pour le calcul scientifique et l'analyse numérique

Descriptif

Ce cours de master présente et développe des méthodes avancées à l’intersection de l’apprentissage automatique et du calcul scientifique, avec un accent particulier sur la résolution et l’analyse de problèmes directs et inverses gouvernés par des équations aux dérivées partielles (EDP). Les étudiants apprendront à combiner les méthodes numériques classiques avec des architectures modernes de réseaux de neurones pour approximer des fonctions, des opérateurs et des applications solutions, tout en évaluant de manière critique la stabilité, la capacité de généralisation et l’interprétabilité.

Objectifs pédagogiques

À l’issue de ce cours, les étudiants seront capables de : - Appliquer des techniques d’apprentissage supervisé à des problèmes directs et inverses fondés sur les EDP. - Dériver et mettre en œuvre des approximations de fonctions, classiques ou basées sur des réseaux de neurones, pour des problèmes de grande dimension. - Concevoir des stratégies d’optimisation pour des tâches d’apprentissage automatique scientifique, y compris dans des contextes contraints ou guidés par les EDP. - Implémenter des cadres d’apprentissage d’opérateurs et évaluer leurs performances sur différentes familles d’EDP. - Formuler et résoudre des problèmes inverses en utilisant des approches basées sur les données, variationnelles ou hybrides. - Évaluer la robustesse, la stabilité et la cohérence physique des solveurs fondés sur l’apprentissage automatique.

36 heures en présentiel

Diplôme(s) concerné(s)

Format des notes

Numérique sur 20

Programme détaillé

L’apprentissage automatique pour le calcul scientifique est un domaine de recherche récent basé à la fois sur l'apprentissage automatique et sur les outils de calcul scientifique. Son objectif est le développement de nouvelles méthodes robustes, efficaces et interprétables pour résoudre des problèmes en science et ingénierie, tels que les équations aux dérivées partielles (EDPs), l'identification de paramètres ou les problèmes inverses. Nous débuterons par des généralités sur l'apprentissage machine en mettant l'accent sur l'apprentissage supervisé, du perceptron jusqu'aux réseaux convolutifs. Nous nous intéresserons ensuite à la résolution numérique d'EDPs par des réseaux de neurones, notamment les PINNs (Physics-Informed Neural Networks). Cette approche permet de combiner la résolution d'EDPs et la prise en compte de données expérimentales. Nous présenterons à la fois les méthodes et les algorithmes sous-jacents, ainsi que leurs justifications théoriques. Nous explorerons également l'apprentissage des opérateurs par des réseaux de neurones pour l'identification des paramètres et les problèmes inverses. Dans le contexte des EDPs, ces nouveaux réseaux apprennent directement la dépendance paramétrique fonctionnelle à la solution. Ainsi, ils sont capables d'apprendre toute une famille d'EDPs, contrairement aux méthodes ou réseaux classiques qui résolvent généralement une instance spécifique de l'équation. Toutes les sessions en petits classes se dérouleront à l'aide de notebooks Jupyter. Un mini-projet permettra de mettre en pratique les notions et méthodes enseignées et de les appliquer à des systèmes concrets. Le cours sera enseigné par une équipe pédagogique constituée d’Hadrien Montanelli (Chargé de Recherche à l’Inria et Professeur Chargé de Cours à l’École Polytechnique), Victorita Dolean (Professeur à TU Eindhoven), Samuel Kokh (Directeur de Recherche au CEA) et Loïc Gouarin (Ingénieur de Recherche à l’École Polytechnique).

Méthodes pédagogiques

Enseignement hybride : étudiants présents sur le campus de l’École Polytechnique, étudiants de TU Eindhoven en ligne.
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