Descriptif
Une matrice aléatoire est tout simplement une variable aléatoire dans un espace de matrices, c'est-à-dire une *matrice* dont les coefficients sont *aléatoires*. Oui, bon, mais encore ? Depuis les années 50 et tout particulièrement ces vingt dernières années, la théorie des matrices aléatoires (RMT pour *Random Matrix Theory*) s'est imposée comme une discipline à la fois centrale et transversale, au carrefour de l'analyse, de l'algèbre, et de la physique mathématique. Il existe en matrices aléatoires différentes écoles (dont les questions, les modèles, les approches et les méthodes peuvent présenter des différences importantes), mais en règle générale le but du jeu est d'étudier aussi finement que possible *la distribution des valeurs propres* d'une matrice dont on connaît la distribution des coefficients, et ce, typiquement, dans la limite où la taille de la matrice tend vers l'infini. La description obtenue peut concerner différentes échelles (macro-, méso-, ou microscopique). Les deux phénomènes les plus frappants sont sans doute: \- L'existence de limites globales simples, c'est à dire qu'une valeur propre prise au hasard sera très proche d'une certaine distribution que l'on peut décrire facilement: loi du demi-cercle, loi circulaire... \- Une forte *répulsion* entre valeurs propres: il est "peu probable" que deux valeurs propres soient "très proches" (mais ce "peu probable" et ce "très proches" demandent à être précisés et quantifiés). Cette répulsion se manifeste de différentes manières; disons pour l'instant qu'elle est responsable de la très grande régularité observée, et que l'on peut mettre en évidence jusqu'aux échelles microscopiques. Cet EA propose un tour d'horizon de certains des plus beaux théorèmes concernant les matrices aléatoires. Nous mettrons tout particulièrement à l'honneur les modèles dits *intégrables*, où les résultats obtenus sont exacts, et qui constituent une sorte de paradigme pour les autres modèles. **La présence de tous les élèves inscrits est requise de 13h30 à 17h** (sauf absence annoncée et justifiée, bien entendu).Objectifs pédagogiques
À l'issue de ces séances, les élèves auront acquis une solide intuition des objets-clefs de la théorie des matrices aléatoires et seront capables de donner la preuve des grands théorèmes classiques en justifiant le sens de chaque opération. Ils seront également capables de citer et de décrire en détails quelques applications-phares des matrices aléatoires à l'équilibre des systèmes en écologie théorique (ODD15) ainsi qu'aux neurosciences, aux technologies quantiques, et à l'étude des réseaux de neurones (ODD 9).
36 heures en présentiel
3 heures de travail personnel estimé pour l’étudiant.
