Ce cours de probabilités avancées s'inscrit dans le prolongement du cours "Martingales et Algorithmes Stochastiques" (PRB202).

Nous nous intéresserons à des processus aléatoires à temps continu. Nous commencerons par illustrer des motivations théoriques et appliquées du Cours. Après des généralités sur le conditionnement et les vecteurs gaussiens, l'effort sera mis sur l'étude du mouvement brownien, le processus d'Ornstein-Uhlenbeck et les processes gaussiens.  On étudiera ses propriétés principales du mouvement brownien: on montrera que c'est une martingale continue et on déterminera le temps d'atteinte d'une barrière. Dans un second temps, l'intégrale stochastique sera définie ainsi que la notion de covariation. Cette nouvelle notion d'intégration est l'objectif principal de ce cours. Elle débouchera naturellement sur le calcul d'Itô, dont une application sera l'étude de certaines équations différentielles stochastiques (EDS). Nous étudierons également le théorème de Girsanov

et le théorème de représentation des martingales browniennes. On terminera le cours en illustrant le

caractère markovien des solutions des EDS et on montrera dans quelle mesure elles constitution une représentation probabilistes de certaines EDP parabliques linéaires.

Ce cours est avant tout une base théorique pouvant déboucher sur de nombreuses applications (Physique, Biologie, Mathématiques financières, étude et analyse probabiliste des EDPs).
Il est indispensable pour des élèves souhaitant suivre les modules ``Modèles Stochastiques pour la Finance'' (PRB210) et ``Méthodes Numériques Probabilistes'' (PRB220).